El toro (dona): el cuerpo geométrico que acaba de romper una regla de 150 años

Un toro es el cuerpo geométrico que se obtiene al girar un círculo de radio r alrededor de un eje situado a una distancia R de su centro (con R mayor que r). El resultado es una superficie con forma de dona, cámara de llanta o flotador salvavidas.

Su volumen se calcula con:

Y su área de superficie con A = 4π² · R · r. Igual que el cilindro y la esfera, el toro se clasifica como un cuerpo redondo: no tiene caras planas, ni aristas, ni vértices — toda su superficie es curva. Puedes revisar esta misma clasificación completa en cuerpos geométricos.

Desde el siglo XIX, la geometría diferencial se apoya en un principio atribuido al matemático francés Pierre Ossian Bonnet: si conoces dos datos de medición en cada punto de una superficie cerrada —su métrica (cómo se miden las distancias sobre ella) y su curvatura media (qué tan curvada está)— entonces esa superficie queda determinada de forma única. Dicho de otro modo: dos superficies con exactamente las mismas mediciones locales deberían ser, en el fondo, la misma forma.

Ese principio se ha usado como base durante más de 150 años. Hasta ahora.

Un equipo de investigadores de la Universidad Técnica de Múnich (TUM), la Universidad Técnica de Berlín y NC State University publicó el 14 de octubre de 2025, en la revista Publications Mathématiques de l'IHÉS, un artículo titulado "Compact Bonnet Pairs: Isometric Tori with the Same Curvatures". En él construyen explícitamente un par de toros inmersos en el espacio euclidiano tridimensional, relacionados por una isometría que preserva la curvatura media: dos superficies distintas con forma de toro que, medidas punto por punto (misma métrica, misma curvatura media), son indistinguibles a nivel local — pero que globalmente son formas diferentes. El hallazgo llegó a medios de divulgación como ScienceDaily y SciTechDaily en abril de 2026.

Según reportaron esos medios, Tim Hoffmann, profesor de Topología Aplicada y Computacional en la TUM, explicó: "Después de muchos años de investigación, logramos por primera vez encontrar un caso concreto que muestra que, incluso para superficies cerradas con forma de dona, los datos de medición local no determinan necesariamente una única forma global." Con esto, el equipo resolvió un problema abierto de geometría diferencial de varias décadas — y de paso, un segundo problema abierto: sus toros isométricos son además real-analíticos, algo que antes no se sabía si era posible mantener en un par de superficies con estas características.

Las superficies de revolución como el toro se estudian desde la geometría clásica griega, pero su verdadero protagonismo llegó con la topología moderna. A diferencia del cilindro y la esfera, el toro tiene un agujero: en el lenguaje de la topología se dice que tiene género 1 (el cilindro y la esfera tienen género 0). Esa diferencia no es solo estética: significa que no existe forma de deformar suavemente un toro hasta convertirlo en una esfera sin cortar o pegar su superficie, y es la razón por la que el toro aparece constantemente como ejemplo en topología, geometría diferencial y hasta en física teórica.

Más allá de la dona, el flotador o la cámara de una llanta, el toro tiene un papel clave en una de las tecnologías más ambiciosas de la energía: los reactores de fusión nuclear tipo tokamak. Estos reactores confinan un plasma calentado a más de 100 millones de grados usando un campo magnético con forma de toro.

La razón es puramente geométrica: una esfera no puede tener un campo vectorial continuo que no se anule en ningún punto (es la idea detrás del llamado "teorema de la bola peluda"), pero un toro sí — tiene lo que se conoce como característica de Euler igual a 0. Por eso el campo magnético que confina el plasma puede recorrer un toro por completo sin puntos muertos, algo imposible de lograr con una esfera.

El toro "de dona" que todos imaginamos es apenas una de sus variantes, la que se da cuando R (el radio mayor) es mayor que r (el radio del tubo). Pero existen otras dos, según la relación entre ambos radios:

• Toro cornudo (R = r): el agujero central se cierra hasta un solo punto, como una dona sin hueco pero con un pliegue en el centro.
• Toro huso (R < r): el tubo es tan ancho que la superficie se autointersecta, formando una figura parecida a un balón de fútbol americano hueco por dentro.

Fuera del salón de clases, la geometría diferencial de superficies se usa en campos como el diseño asistido por computadora, la visión artificial y la física teórica, donde reconstruir una forma a partir de mediciones locales es una tarea común. Este hallazgo muestra que, al menos para ciertas superficies cerradas como el toro, esa reconstrucción no siempre es posible de forma única — un límite que antes no se sabía que existía.