Cilindro
Volumen de una esfera
El volumen de una esfera se obtiene con V = 4/3 · π · r³. Solo hace falta el radio, porque una esfera es igual de ancha se mire por donde se mire. Es el cuerpo redondo más simple de describir y, a la vez, el que tiene la relación más elegante con el cilindro.
Calculadora de volumen de la esfera
Resultado
—
cm³
V = 4/3 · π · r³
Fórmula del volumen de una esfera
V = 4/3 · π · r³
donde r es el radio de la esfera. Si conoces el diámetro, divídelo entre 2 antes de elevar al cubo, o usa V = πd³/6.
Cómo sacar el volumen de una esfera paso a paso
- Consigue el radio. Del centro a la superficie. Si tienes el diámetro, es la mitad.
- Eleva el radio al cubo. Multiplica el radio tres veces por sí mismo: r × r × r.
- Multiplica por π. Toma el resultado y multiplícalo por 3.14159.
- Multiplica por 4 y divide entre 3. O lo que es lo mismo, multiplica por 1.3333.
Ejemplos resueltos del volumen de la esfera
| Datos | Operación | Resultado |
|---|---|---|
| r = 5 cm | 4/3 × π × 125 | 523.60 cm³ |
| r = 3 cm | 4/3 × π × 27 | 113.10 cm³ |
| r = 10 cm | 4/3 × π × 1000 | 4,188.79 cm³ |
| d = 20 cm (r = 10) | 4/3 × π × 1000 | 4,188.79 cm³ |
Área de una esfera y otras fórmulas
- Con el diámetro: V = π · d³ / 6
- Área de la esfera: A = 4 · π · r²
- Volumen de media esfera: V = 2/3 · π · r³
Volumen de la esfera por radio
| Radio | Diámetro | Volumen |
|---|---|---|
| 1 cm | 2 cm | 4.19 cm³ |
| 2 cm | 4 cm | 33.51 cm³ |
| 3 cm | 6 cm | 113.10 cm³ |
| 5 cm | 10 cm | 523.60 cm³ |
| 8 cm | 16 cm | 2,144.66 cm³ |
| 10 cm | 20 cm | 4,188.79 cm³ |
| 15 cm | 30 cm | 14,137.17 cm³ |
| 20 cm | 40 cm | 33,510.32 cm³ |
Al doblar el radio, el volumen se multiplica por ocho: crece con el cubo.
La esfera y el cilindro: el teorema de Arquímedes
Arquímedes descubrió algo que consideró su mayor hallazgo: si metes una esfera dentro del cilindro más ajustado posible —uno cuya altura sea igual al diámetro de la esfera—, la esfera ocupa exactamente dos tercios del volumen del cilindro. Y lo mismo pasa con la superficie.
Estaba tan orgulloso que pidió que grabaran una esfera inscrita en un cilindro sobre su tumba. Puedes comprobarlo tú mismo: calcula el volumen de un cilindro con r = 5 y h = 10 (785.40 cm³) y compáralo con la esfera de r = 5 de arriba (523.60 cm³). La división da exactamente 0.666…
Errores frecuentes al calcularlo
- Elevar al cuadrado en vez de al cubo. El volumen lleva r³. Con r² estarías calculando algo proporcional al área, no al volumen.
- Usar el diámetro sin corregir la fórmula. Con el diámetro la fórmula es V = πd³/6, no 4/3πd³.
- Confundir volumen con superficie. El volumen va en cm³ y usa 4/3πr³; la superficie va en cm² y usa 4πr².
Área de una esfera y otras medidas
Superficie de la esfera
El área de una esfera es A = 4 · π · r², es decir cuatro veces el área del círculo de su mismo radio. Con r = 5 cm: 4 × π × 25 = 314.16 cm².
La otra mitad del teorema de Arquímedes
La relación de dos tercios entre esfera y cilindro no vale solo para el volumen: también se cumple para la superficie. El área de la esfera equivale exactamente al área lateral del cilindro que la contiene ajustada.
Media esfera
Una semiesfera tiene la mitad del volumen: V = 2/3 · πr³. Pero su superficie no es la mitad, porque hay que sumar el círculo del corte: A = 2πr² + πr² = 3πr².
Casquete y sector esférico
Si cortas una esfera con un plano que no pasa por el centro, la porción menor se llama casquete esférico y su volumen es V = πh²(3r − h)/3, donde h es la altura del casquete.
Preguntas frecuentes
¿Cuál es la fórmula del volumen de una esfera?
¿Cómo calcular el volumen de una esfera con el diámetro?
¿Qué relación hay entre la esfera y el cilindro?
¿Cuál es el área de una esfera?
Páginas relacionadas
Referencia: Esfera en Wikipedia.